viernes, 20 de noviembre de 2009

Unidad 5

5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades.

Transformaciones lineales.
Definición. Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V -> W, que es lineal, esto es para todo u,v Î V y todo a,b Î R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.

Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a Î R y todo u,v Î V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.

En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo.



para distinguir el vector cero de V del vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con 0W el vector cero de W.

Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es 0W, pues:

T0V = T(00V) = 0T0V = 0W.



Para todo espacio V, la función identidad, I: V ® V, que a todo vector v Î V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.

Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V -> W, en la que todo vector v Î V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.

************** Propiedades  *************
PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. IMAGEN Y KERNEL (O NUCLEO)


En esta sección desarrollaremos algunas de las propiedades básicas de las transformaciones lineales.

Teorema. Sea T:V − W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,, vn en V

y todos los escalares , , ,n:

· T(0) = 0

· T(u−v) = Tu − Tv

· T(v1+ v2++nvn) = Tv1 + Tv2 + +nTvn
Nota: en la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el

vector cero en W.

Demostración:

· T(0) = T(0+0) = T(0) + T(0). Entonces 0 = T(0) − T(0) = T(0) + T(0) − T(0) = T(0)

· T(u−v) = T [u + (−1)v] = Tu + T[(−1)v] = Tu + (−1) Tv = Tu − Tv.

Demostraremos esta parte por inducción (apéndice1). Para n = 2, obtenemos T (v1 + V2) = T

(v1) + T (v2) = Tv1 + 2Tv2. En consecuencia, tenemos que, la ecuación es valida para n = 2.

Supongamos que es valida para n = k y demostremos que vale para n = k + 1: T(v1 + V2 + +

kvk + k+1 vk+1) = T(v1 + V2 + +kvk) + T(k + vk+1 ) y usando la ecuación de la parte (iii)

para n = k, esto es igual a (Tv1 + Tv2 +k Tvk) + k+1 Tvk+1, que es lo que queríamos

demostrar. Con esto queda completa la demostración.


5.2 Ejemplos Transformaciones Lineales ( reflexión, dilatación, contracción, rotación)
 
Sea 0 ≤ θ < 2π un ángulo medido en radianes. La Transformación de T : R2 ―› R2 que gira sobre un vector ū = (u1, u2) es un ángulo θ, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).


Usando las funciones trigonométricas, tenemos que:

v1 = T (ū)• cos (α + θ) =ū• (cos α cos θ - sen α sen θ)

v2 = T (ū)• sen (α + θ) = ū• (sen α cos θ + cos α sen θ)

Como u1 =ū= cos α y u2 =ū= sen α se obtiene:

v1 = u1 cos θ – u2 sen θ

v2 = u2 cos θ – u1 sen θ

Por lo tanto la Transformación T : R2 ―› R2 debe estar definida tal que:
T (u1, u2) = (u1 cos θ – u2 sen θ, u2 cos θ – u1 sen θ).
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo θ y es lineal, ya que:

T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2)
= ((u1 + γv1) cos θ – (u2 + γv2) sen θ, (u2 + γv2) cos θ + (u1 + γv1) sen θ)
=(u1 cos θ - u2 sen θ, u2 cos θ + u1 sen θ)+(v1 cos θ - v2 sen θ, v2 cos θ + v1 sen θ)
= T (u1, u2) + γT (v1, v2)

Transformación de Reflexión:

La Transformación de T : R2 ―› R2 que a cada vector ū = (u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:


T (u1, u2) = (u1, -u2)

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2) = (u1 + γv1, -u2 -γv2)
= (u1, -u2) + γ(v1, -v2) = T (u1, u2) + γT (v1, v2)

5.3 Definicion de nucleo de kernel e Imagen
 Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:




Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.


El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:


dado que T(0V) = 0W


Dados
Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))



O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
 
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen: rg(T)=dim(lm(T)).

viernes, 13 de noviembre de 2009